В математиці можна часто зустріти різноманітні константи, які ми, не замислюючись, використовуємо в житті. Серед таких чисел особливе місце займають \(e\) (число Ейлера), \(\pi\) (число Пі) і \(i\) (уявна одиниця). Ці константи використовують в багатьох галузях, таких як фінанси, електротехніка, комп’ютерна графіка, квантова механіка, фізика, астрономія, медицина, біологія, мистецтво, архітектура та інші.
Тож, розглянемо історію виникнення кожної з цих констант та їх використання в житті та науці.
Число Eйлера
Число Ейлера (\(e\)) – це ірраціональне число, тобто нескінченний десятковий неперіодичний дріб, що також називають “експонентою”, має вигляд:
\[e=2,7182818284590...\]
На практиці вважають, що \(e\approx 2,7\).
За означенням, число \(e\) – це границя функції \(y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x\) при \(x\to \infty\), тобто:
Також число \(e\) визначається як число, що задає одиничну площу криволінійної трапеції, обмеженої графіками: \(y=\frac1x\), \(x=1\), \(y=0\) та \(x=e\).
Існує багато цікавих розкладів числа \(e\) в нескінченні добутки та в нескінченний ланцюговий дріб, розглянемо декілька прикладів:
Найкраще пояснити значення числа \(e\) на прикладі грошей, причому вперше його вичислив швейцарський математик Якоб Бернуллі при обчисленні задачі про максимальну величину відсоткового доходу.
Отже, розглянемо задачу Бернуллі:
Чоловік поклав на депозит до банку 1 гривню під 100% річних, причому відсоток нараховується в кінці строку. В кінцевому результаті він отримає 2 гривні. А яку ж суму він отримає, якщо відсотки нараховуватимуться протягом року періодично (наприклад, двічі на рік, щокварталу, щомісяця, щотижня тощо) і він докладатиме нараховані відсотки до депозиту?
Розв’язок: Якщо відсоток нараховується двічі на рік, то в кінці першого півріччя чоловік отримає \(100\%\cdot2=50\%\) від вкладу, які зразу ж додаються до депозиту. Відсотки за друге півріччя будуть нараховуватися вже на суму 1,5 гривень. У результаті в кінці строку в нього буде
\[(1+0,5)\cdot\left(1+\frac12\right)=\left(1+\frac12\right)^2=2,25.\]
Якщо виплата відсотків буде поділена на 4 однакові частини, то чоловік матиме відповідно \((1+\frac14)^4=2,4414\) гривні.
Якщо виплата буде щомісячною, то результат буде: \((1+\frac{1}{12})^{12}=2,613035\).
Для довільного n кінцева сума буде: \((1+\frac1n)^n\).
Цю задачу у подальшому легко звести для довільної суми вкладу під будь-які відсотки.
Ще одним прикладом застосування числа Ейлера є цікава карткова гра:
Нехай у дилера є колода з 52 карт і ви повинні у довільному порядку записати всі карти. Далі правила гри полягають у тому, що дилер викладає на стіл карти по одній картинкою доверху, а ви одночасно записуєте одну з карт із свого списку, якщо виникає збіг – ви перемагаєте, якщо ж ні – ви програєте. Питання полягає в тому, яка ймовірність того, що викладена на стіл карта та карта записана вами на листку співпадуть? Чи варто вам продовжувати гру на велику суму грошей?
Більшість відповість, що шанси виграти низькі, проте виявляється, що ймовірність збігу карт становить
\[1-\frac1e=0,632,\]
а це майже \(63\%\), тобто з 52 партій ви виграєте приблизно 33.
Іншим застосуванням числа e, яке також відкрив Якоба Бернуллі разом із П’єром де Монмором – це задача безладу, яку ще називають задачею переплутаних капелюхів:.
На вечерю було запрошено \(n\) гостей, при вході кожен з гостей віддає свій капелюх дворецькому, який розкладає їх у \(n\) ящиків. На кожному з ящиків написане ім’я гостя. Проте дворецький не знає імен гостей, і тому розкладає капелюхи у ящики навмання. З якою ймовірністю жоден із капелюхів не буде покладено у правильний ящик?
Відповідь:
\[p_n=1-\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}-\frac{1}{3!}+\dots+\frac{(-1)^n}{n!}=\sum_{k=0}^n\frac{(-1)^k}{k!}.\]
Якщо кількість гостей зростатиме до нескінченності, \(p_n\) наближатиметься до \(\frac1e\), а от кількість способів розкласти капелюхи у ящики, щоб жоден не опинився на правильному місці, становить \(\frac{n!}{e}\).
Число \(e\), також використовують у задачах оптимального планування:
Відрізок довжиною \(L\) розбили на \(n\) рівних частин. Значення числа \(n\) яке максимізує добуток довжин, прийматиме значення:
\(n=\left[\frac{L}{e}\right]\) або \(\left[\frac{L}{e}\right]+1\).
Саме такий підсумок ми отримаємо тому, що максимальне значення \(\frac{\ln x}{x}\) буде існувати при \(x=e\). Величина \(\frac{\ln x}{x}\) є мірою інформації, що відповідає події, яка виникає із ймовірністю \(\frac1x\), тож такий самий оптимальний поділ випливає і в задачах оптимального планування, як і в задачах вибору.
Якщо ви дочитали до цього моменту, то сміливо можете святкувати лютого день числа \(e\).
Число \(\pi\)
Число \(\pi\) – одна з найвідоміших і найважливіших математичних констант у світі. Перші згадки про відношення довжини кола до діаметра з’явилися ще в старозавітних текстах. Число \(\pi\) є ірраціональним числом, тому його неможливо записати у вигляді дробу, а десятковий дріб є нескінченним
\[\pi=3,14159265...\]
У 2021 році надпотужний комп’ютер зміг розрахувати число \(\pi\) аж до 62,8 трильйона знаків після коми. Однак практичного застосування в такій точності немає. В рамках шкільної програми число \(\pi\) спрощують до 3,14 або 22/7.
Як і для числа \(e\), для \(\pi\) існує також багато різних цікавих розкладів у нескінченнім ланцюгові дроби та добутки:
Перші натяки на число \(\pi\) з’явилися ще в Давньому Вавилоні під час спроб обчислення площі круга. Тоді люди зрозуміли, якщо збільшити радіус кола втричі, то це дасть приблизно правильний результат. В 1900 році до н.е. у жителів Вавилона вже існувала табличка із визначенням числа \(\pi\), яке дорівнювало 3,125. Самого поняття «Число \(\pi\)» тоді не існувало, воно зʼявилось лише у XVIII столітті. Однак ще в Давні часи люди вже вміли ним користувалися.
Першим досить точно зміг обчислити число \(\pi\) Архімед. Він довів, що воно дорівнює співвідношенню довжини і діаметра кола. Інші математики продовжили обчислення цього числа і в 1600 році було відомо вже 35 знаків після коми. До кінця XVIII століття кількість символів після коми досягла 100.
Сфера застосування числа \(\pi\) значно ширша, ніж дослідження кола і круга: \(\pi\) відіграє ключову роль у фізичних розрахунках, технічних проєктах, аналізі даних та навіть у мистецтві. Розглянемо детальніше, як саме використовується це незамінне число в різних галузях науки і техніки.
В астрономії число \(\pi\) відіграє важливу роль, оскільки допомагає точно описувати рух небесних тіл, розраховувати орбіти, великі відстані в космосі та кути спостережень з Землі.
У медицині \(\pi\) використовується для математичного моделювання форм органів, тканин і різних анатомічних структур. Це допомагає точніше проводити діагностику та планувати лікування. При створенні комп’ютерних томографічних знімків розраховуються площі та об’єми поперечних зрізів органів, що мають округлі форми, із застосуванням \(\pi\).
Число \(\pi\) надихає митців і дизайнерів створювати твори з гармонійними формами та точними пропорціями. Використання симетрії, побудованої на колах і спіралях (наприклад, спіраль Ферма), де співвідношення довжин пов’язане з \(\pi\).
Число \(\pi\) – одна з найзагадковіших і водночас найважливіших констант у математиці. Але за цією нескінченною низкою цифр ховаються факти, які вражають не менше, ніж саме число. Від мовних експериментів до рекордних обчислень – \(\pi\) давно вийшло за межі математики. Отже, декілька цікавих фактів про чисто \(\pi\):
- Символ числа Пі має цікаву історію. Символ числа Пі (\(\pi\)) вперше використав валлійський математик Вільям Джонс у 1706 році. Однак широкого поширення він набув лише у 1730-х роках, коли його почав використовувати швейцарський математик Йоганн Ламберт. Цей символ був обраний тому, що це перша літера грецького слова, що означає периметр (περίμετρος).
- Хоча багато математиків захоплюються числом Пі, зростає рух опору. Дехто стверджує, що \(\pi\) – це похідна величина, а значення тау (\(\tau=2\pi\)) – це більш інтуїтивно зрозуміле ірраціональне число.
- Число Пі використовувалося для побиття світових рекордів. У 2019 році Емма Харука Івао, співробітниця Google, побила світовий рекорд з найточнішого обчислення числа Пі, обчисливши його до 31,4 трильйона знаків після коми за допомогою технології Google Cloud.
- Обчислення числа Пі – це стрес-тест для комп’ютера. Він працює так само, як цифрова кардіограма, оскільки показує рівень активності процесора комп’ютер.
- Існує ціла мова, створена з числа Пі. Деякі люди настільки любили число Пі, що винайшли на його основі діалект. У мові «Пі-ліш» кількість літер у кожному слові відповідає відповідній цифрі числа \(\pi\). У першому слові три літери, у другому – одна, у третьому – чотири і так далі
- Число Пі використовувалося для приховування секретних повідомлень. Під час Другої світової війни союзники використовували число Пі для кодування повідомлень, що надсилалися між США та Великою Британією. Вони використовували цифри числа Пі для позначення літер, цифр та інших символів.
- Givenchy продає чоловічий одеколон під назвою “Pi”. Компанія рекламує цей продукт як здатний підвищити привабливість розумних та далекоглядних чоловіків.
Як і число \(e\), число \(\pi\) також має свій святковий день – це 14 березня.
Уявна одиниця
Уявна одиниця (\(i\)) – це число, квадрат якого дорівнює \(-1\), тобто виконується рівність:
\[i\cdot i=i^2=-1.\]
Уявна одиниця не належить полю дійсних чисел, однак дає можливість розширити його до поля комплексних чисел.
Уявні числа виникли не як забаганка математиків, а як вимушене розширення понять, щоб мати змогу розв’язувати деякі рівняння.
Особливо це стосується квадратних рівнянь, де дискримінант виходив від’ємним. Наприклад, рівняння \(x^2+1=0\) немає дійсних коренів, бо жодне дійсне число в квадраті не дає \(-1\). Тоді математики почали міркувати: “А що, якби таке число все ж існувало?”
Джироламо Кардано (1501–1576), італійський математик, один із перших, хто зіткнувся з «дивними» коренями під коренем із від’ємного числа при розв’язанні кубічних рівнянь. Хоч він і не зовсім розумів, як їх трактувати, але використовував такі вирази в обчисленнях.
Саме Леонард Ейлер у 18 столітті ввів позначення \(i\) для числа, квадрат якого дорівнює \(-1\), і почав активно використовувати його в аналізі, тригонометрії, диференціальних рівняннях.
Карл Фрідріх Гаусс наприкінці 18 століття остаточно затвердив статус комплексних чисел у математиці. Він описав їх як точки на площині (тепер це називається комплексна площина), де:
- вісь \(x\) – дійсна частина,
- вісь \(y\) – уявна.
Уявна одиниця \(i\), незважаючи на свою назву, має реальне і дуже важливе застосування. Її не побачиш фізично, як метр чи кілограм, але вона лежить в основі сучасних технологій, які ми використовуємо щодня: смартфони, Wi-Fi, медицина, GPS, навіть банківська справа.
Коли ви слухаєте музику, говорите по телефону або переглядаєте відео – ваш пристрій обробляє сигнал, який розкладається на частоти за допомогою комплексних перетворень. Уявна одиниця – обов’язкова частина цього процесу.
У технології МРТ саме завдяки уявній одинці можливо точно аналізувати сигнали, що надходять від тканин тіла, обробляти ці дані з допомогою перетворення Фур’є та будувати високоточні зображення внутрішніх органів. Таким чином, i виконує роль невидимого інструмента, що забезпечує сучасну медичну діагностику без операцій і болю.
У космічних дослідженнях та навігації уявна одиниця \(i\) є важливим інструментом для точного обчислення орбіт, коригування траєкторій та стабілізації руху космічних апаратів. Вона дозволяє враховувати фази обертів та коливання, що є критичними для успішного виконання місій. Без використання комплексних моделей, включаючи \(i\), було б неможливо досягти такої точності в управлінні рухом космічних апаратів.
Уявна одиниця відіграє ключову роль у математичному описі обертання об'єктів у 2D графіці. За допомогою комплексних чисел і множення на \(e^{i\theta}\), обертання на певний кут стає простим і ефективним процесом. Це забезпечує створення плавних анімацій та рухів в комп'ютерних програмах і відеоіграх, дозволяючи обертати об'єкти з високою точністю.
Одним із найвеличніших відкритів в історії математики є знаменита формула Ейлера – рівняння, що поєднує у собі одразу кілька фундаментальних констант, число Ейлера \(e\), уявну одиницю \(i\), число \(\pi\), а також \(0\) і \(1\):
\[e^{i\pi}+1=0.\]
Ця формула вражає своєю елегантністю та глибиною, адже об’єднує елементи алгебри, геометрії та аналізу в одному рядку.
