Стереометрія, як частина геометрії тривимірного евклідового простору, вивчається у старшій школі в 10 – 11 класах. Це одна з найскладніших частин шкільної математики, яка вимагає ґрунтовних знань, геометричного бачення та уяви просторових об’єктів, вміння обґрунтувати логічність та послідовність необхідних кроків і викладення отриманих результатів у лаконічне структуроване доведення.
Вочевидь сучасний учитель математики зобов’язаний мати досконале знання методики викладання стереометрії, що є запорукою отримання учнями якісної стереометричної освіти. З цією метою в освітню програму підготовки учителів математики було запропоновано кілька навчальних дисциплін, які пов’язані з вивченням та методикою викладання стереометрії. Однією з таких дисциплін є вибіркова дисципліна “Перерізи многогранників”, яку студенти мають можливість слухати на 4-му курсі. Цьогоріч студентки 4-го курсу разом з викладачем розробили анімовані зображення, які демонструють різні методи побудови перерізів многогранників. Та перш ніж перейти до знайомства з їхніми роботами, пригадаємо, чим, власне, є многогранники і що таке переріз многогранника.
Многогранник (інколи вживають термін багатогранник) – це тіло, поверхня якого складається із скінченної кількості плоских многокутників. Многогранник називається опуклим, якщо його тіло лежить по один бік від площини кожного з плоских многокутників, які обмежують його поверхню. Спільна частина обмежуваної площини і поверхні опуклого многогранника називається його гранню. Грані многогранника є плоскими опуклими многокутниками. Сторони граней називаються ребрами, а вершини – вершинами многогранника. Кожне ребро многогранника є спільним для двох і лише двох граней, які ніколи не належать одній площині. Спільну вершину можуть мати щонайменше три суміжні грані многогранника.
Многогранники евклідової геометрії, які вивчають за шкільною програмою, зручно ілюструвати схемою, представленою рисунком. Куб є найпростішою стереометричною фігурою серед призм, а тетраедр – серед пірамід.
Якщо площина перетинає многогранник, то область, спільна для площини і многогранника, називається перерізом многогранника. Площина, що містить переріз многогранника, називається січною площиною. Січна площина може бути задана по-різному:
- трьома точками, які не лежать на одній прямій;
- прямою і точкою, що їй не належить;
- двома паралельними прямими;
- двома прямими, які перетинаються.
Побудувати переріз многогранника означає побудувати лінії перетину січної площини з гранями многогранника. Зрозуміло, що це будуть відрізки прямих, що є лініями перетину січної площини з площинами граней многогранника. Враховуючи аксіому належності точок і прямих площині (через будь-які дві точки можна провести пряму і до того ж тільки одну) та аксіому паралельності (через точку, що не лежить на даній прямій, можна провести на площині не більш як одну пряму, паралельну даній), задача побудови перерізу многогранника зводиться до задачі побудови січної площини, заданої трьома точками, які не лежать на одній прямій. У загальному випадку площина перерізу має спільну пряму з площиною кожної грані многогранника. Пряму, по якій січна площина перетинає площину довільної грані многогранника, називають слідом січної площини.
Форма перерізу многогранника залежить від розміщення січної площини відносно многогранника. Наприклад, вид перерізу куба залежать від того, як січна площина пов’язана з кубом. Якщо січна площина перпендикулярна до прямої, що з’єднує центри двох протилежних граней куба, то перерізом буде квадрат. Якщо ж січна площина перпендикулярна до діагоналі куба, що з’єднує протилежні вершини, то перерізом може бути точка, трикутник, прямокутник. Перерізом куба з найбільшою можливою кількістю сторін є шестикутник. Проте заздалегідь передбачити форму перерізу не так легко.
Є багато різних методів побудови перерізів, серед яких основними є:
- метод слідів;
- метод внутрішнього проектування;
- комбінований метод;
- метод доповнення n-кутної призми (піраміди) до трикутної;
- метод розбиття n-кутної призми (піраміди) на трикутні;
- метод паралельних прямих;
- метод паралельного перенесення січної площини.
Метод слідів полягає в побудові слідів січної площини на гранях даного многогранника. Використовуючи метод слідів, спочатку будуємо пряму перетину січної площини з площиною якоїсь грані (зазвичай це основа), а потім уже знаходимо точки перетину січної площини з відповідними ребрами многогранника чи з їх продовженнями і будуємо переріз.
Анімований приклад 1 (переріз, що проходить через 3 точки, що належать мимобіжним ребрам прямокутного паралелепіпеда)
Виконала студентка групи МТО-41 Чорненька Адріана
Анімований приклад 2 (переріз, що проходить через 3 точки, що належать мимобіжним ребрам прямокутного паралелепіпеда)
Виконала студентка групи МТО-41 Сіра Діана
Анімований приклад 3 (переріз, що проходить через 3 точки, 2 з яких належать сусіднім ребрам основи прямокутного паралелепіпеда)
Виконала студентка групи МТО-41 Кушнір Діана
Анімований приклад 4 (переріз, що проходить через 3 точки, 2 з яких належать граням прямокутного паралелепіпеда)
Виконала студентка групи МТО-41 Заяць Софія
Анімований приклад 5 (переріз, що проходить через 3 точки, 2 з яких належать граням прямокутного паралелепіпеда)
Виконала студентка групи МТО-41 Кощук Богдана
Анімований приклад 6 (переріз, що проходить через 3 точки прямої шестикутної призми)
Виконала студентка групи МТО-41 Лецик Ірина
Анімований приклад 7 (переріз, що проходить через 3 точки шестикутної піраміди)
Виконала студентка групи МТО-41 Штогрин Оксана
Складність цього методу полягає в тому, що дуже часто необхідні побудови займають дуже багато місця або й виходять за межі аркуша, на якому здійснюють побудови.
Метод внутрішнього проектування ґрунтується на взаємно однозначній відповідності між точками січної площини та їх проекціями на основну площину.
Спочатку ми вибираємо напрям проектування; для призми – це паралельне проектування у напрямі бічного ребра, а для піраміди – це центральне проектування з центром у вершині піраміди. Потім знаходимо точки перетину проекції заданої прямої з діагоналями основи і будуємо відповідні їм точки у площині перерізу. Знаходимо точки перетину прямих, що належать перерізу з бічними ребрами призми (піраміди) та будуємо переріз.
Анімований приклад 8 (переріз, що проходить через 3 точки прямої п’ятикутної призми)
Виконали студентка групи МТО-41 Гавриляк Олена
Анімований приклад 9 (переріз, що проходить через 3 точки прямої п’ятикутної піраміди)
Виконали студентка групи МТО-41 Ковалко Неля
Складність цього методу полягає в тому, що всі необхідні побудови відбуваються в межах заданого багатогранника, що в кінцевому результаті викликає складнощі у читанні побудов.
Суть комбінованого методу побудови перерізів багатогранників полягає в застосування теорем про паралельність прямих і площин у просторі у поєднанні з аксіоматичним методом.
Анімований приклад 10 (переріз, що проходить через 3 точки прямої п’ятикутної піраміди)
Виконала студентка групи МТО-41 Степанюк Анна
Метод розбиття n-кутної призми (піраміди) на трикутні: З даної n–кутної призми (піраміди) виділяємо ту трикутну, на ребрах якої лежать точки, що визначають площину перерізу. Будуємо переріз цієї призми (піраміди) та перерізи інших трикутних призм (пірамід), які мають спільні частини з даним многогранником. Визначаємо площину шуканого перерізу.
Анімований приклад 11 (переріз, що проходить через 3 точки прямої шестикутної призми)
Виконала студентка групи МТО-41 Магдич Ірина
Анімований приклад 12 (переріз, що проходить через 3 точки прямої чотирикутної піраміди)
Метод доповнення n-кутної призми (піраміди) до трикутної: Задану призму (піраміду) добудовуємо до трикутної і будуємо її переріз січною площиною. Шуканий переріз вихідного многогранника дістаємо як частину перерізу трикутної призми (піраміди).
